Организаторы праздничного концерта попросили у шести артистов, чтобы продолжительность их выступлений была кратна 10 минутам. В итоге каждый артист выступил со своей программой, концерт продлился ровно 3 часа. Докажите, что хотя бы у двоих артистов программа продлилась одинаковое число минут.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что у каждого артиста программы продлились разное число минут.

Пусть программа первого артиста продлилась на a минут, второго на b минут, третьего на c минут, четвертого на d минут, пятого на e минут и шестого на f минут. Где a, b, c, d, e, f - натуральные числа кратные 10 и не равные друг другу.

Тогда суммарная продолжительность концерта будет равна a + b + c + d + e + f минут. Учтем условие задачи, что концерт продлился ровно 3 часа, т.е. 180 минут, тогда получаем:

a + b + c + d + e + f = 180

Так как a, b, c, d, e, f - различные натуральные числа кратные 10, то сумма четырех из них должна быть кратна 4, но т.к. 180 не кратно 4, то получаем противоречие.

Следовательно, у хотя бы у двух артистов программа продлилась одинаковое число минут.