Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число n, при котором произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 900

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делилось на 900, необходимо, чтобы каждый из множителей содержал как минимум два множителя 2 и один множитель 3.

Обозначим это следующим образом:

n = 2^a 3^b x, где a≥2, b≥1, x — простое число.

(n+1) = 2c 3d y, где c≥1, d≥1, y — простое число.

(n+2) = 2e 3f z, где e≥1, f≥1, z — простое число.

(n+3) = 2g 3h w, где g≥1, h≥2, w — простое число.

Для того чтобы минимизировать n, возьмем a = 2, b = 1. Тогда x = 5 (поскольку 235 = 30 < 100).

(n+1) = 2 3 y (должен быть делителем 30) => c=1, d=1, таким образом y=5.

(n+2) = 2 3 z (этот же случай) => e=1, f=1, таким образом z=5.

(n+3) = 2 3^2 w (должен быть делителем 30) => g=1, h=2, таким образом w=5.

Таким образом, наименьшее трёхзначное натуральное число n, при котором произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 900, равно:

n = 2^2 3 5 = 60.