[tex]\lim_{x \to \infinity}[/tex][tex]\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} }{{3x} }[/tex]найти пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения предела необходимо сначала упростить выражение, раскрыв корни:

[tex]\lim{x \to \infinity}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{3x} = \lim{x \to \infinity}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{3x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \lim{x \to \infinity}\frac{(1+x)-(1-x)}{3x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \lim{x \to \infinity}\frac{2x}{3x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \lim{x \to \infinity}\frac{2}{3(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \frac{2}{3} \cdot \lim{x \to \infinity}\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}[/tex]

Теперь при x -> ∞, корни в знаменателе будут стремиться к ∞, следовательно:

[tex]\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\infty + \infty} = 0[/tex]

Итак, предел выражения равен 0.