Решите дифференциальное уравнение :
y" + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом вариации постоянных. Предположим, что решение имеет вид y = y1 + y2, где y1 - частное решение однородного уравнения, y2 - частное решение неоднородного уравнения.

Для начала найдем общее решение однородного уравнения: y" + 6y' + 9y = 0
Характеристическое уравнение: λ^2 + 6λ + 9 = 0
(λ + 3)^2 = 0
λ = -3

Таким образом, частное решение однородного уравнения имеет вид: y1 = C1e^(-3x) + C2xe^(-3x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что y2 = Ax^2e^x, подставим это в уравнение:
(2A + 4Ax + 4A)x + 2A + 8Ax + 8A - 6(2A + 2Ax + Ax^2 + 2A + 2Ax + Ax^2) + 9(Ax^2e^x) = 48x + 8

2Ax + 4A - 12Ax - 12A + 9Ax^2 = 48x + 8
2Ax - 8A + 9Ax^2 = 48x + 8

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
2A - 8A = 8 => A = -1
9A = 48 => A = 48/9 = 16/3

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид: y2 = -x^2e^x

Итоговое решение уравнения имеет вид: y = y1 + y2 = C1e^(-3x) + C2xe^(-3x) - x^2e^x, где C1 и С2 - произвольные постоянные.