Решите ИНТЕГРАЛ максимально расписывая [tex] \frac{ - dx}{1 + {x}^{2} } [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Интеграл данной функции:
[ \int \frac{-dx}{1 + x^2} ]

Мы можем разложить знаменатель на множители:
[ 1 + x^2 = (1 + ix)(1 - ix) ]

Теперь мы можем раскрывать интеграл, используя дробные дроби:
[ \int \frac{-dx}{1 + x^2} = -\int \frac{dx}{(1 + ix)(1 - ix)} ]
[ = -\int \left( \frac{A}{1 + ix} + \frac{B}{1 - ix} \right) dx ]

Находим A и B:
[ A(1 - ix) + B(1 + ix) = -1 ]
[ A - iAx + B + iBx = -1 ]

Сравниваем коэффициенты:
[ A + B = 0 ]
[ -iA + iB = -1 ]

Отсюда получаем:
[ A = -\frac{1}{2i}, \quad B = \frac{1}{2i} ]

Теперь можем подставить обратно в интеграл:
[ -\int \left( \frac{-\frac{1}{2i}}{1 + ix} + \frac{\frac{1}{2i}}{1 - ix} \right) dx ]
[ = -\frac{1}{2i} \ln|1 + ix| + \frac{1}{2i} \ln|1 - ix| + C ]

Таким образом, интеграл выражается как:
[ -\frac{1}{2i} \ln|1 + ix| + \frac{1}{2i} \ln|1 - ix| + C ]