Интеграл данной функции:[ \int \frac{-dx}{1 + x^2} ]
Мы можем разложить знаменатель на множители:[ 1 + x^2 = (1 + ix)(1 - ix) ]
Теперь мы можем раскрывать интеграл, используя дробные дроби:[ \int \frac{-dx}{1 + x^2} = -\int \frac{dx}{(1 + ix)(1 - ix)} ][ = -\int \left( \frac{A}{1 + ix} + \frac{B}{1 - ix} \right) dx ]
Находим A и B:[ A(1 - ix) + B(1 + ix) = -1 ][ A - iAx + B + iBx = -1 ]
Сравниваем коэффициенты:[ A + B = 0 ][ -iA + iB = -1 ]
Отсюда получаем:[ A = -\frac{1}{2i}, \quad B = \frac{1}{2i} ]
Теперь можем подставить обратно в интеграл:[ -\int \left( \frac{-\frac{1}{2i}}{1 + ix} + \frac{\frac{1}{2i}}{1 - ix} \right) dx ][ = -\frac{1}{2i} \ln|1 + ix| + \frac{1}{2i} \ln|1 - ix| + C ]
Таким образом, интеграл выражается как:[ -\frac{1}{2i} \ln|1 + ix| + \frac{1}{2i} \ln|1 - ix| + C ]
Интеграл данной функции:
[ \int \frac{-dx}{1 + x^2} ]
Мы можем разложить знаменатель на множители:
[ 1 + x^2 = (1 + ix)(1 - ix) ]
Теперь мы можем раскрывать интеграл, используя дробные дроби:
[ \int \frac{-dx}{1 + x^2} = -\int \frac{dx}{(1 + ix)(1 - ix)} ]
[ = -\int \left( \frac{A}{1 + ix} + \frac{B}{1 - ix} \right) dx ]
Находим A и B:
[ A(1 - ix) + B(1 + ix) = -1 ]
[ A - iAx + B + iBx = -1 ]
Сравниваем коэффициенты:
[ A + B = 0 ]
[ -iA + iB = -1 ]
Отсюда получаем:
[ A = -\frac{1}{2i}, \quad B = \frac{1}{2i} ]
Теперь можем подставить обратно в интеграл:
[ -\int \left( \frac{-\frac{1}{2i}}{1 + ix} + \frac{\frac{1}{2i}}{1 - ix} \right) dx ]
[ = -\frac{1}{2i} \ln|1 + ix| + \frac{1}{2i} \ln|1 - ix| + C ]
Таким образом, интеграл выражается как:
[ -\frac{1}{2i} \ln|1 + ix| + \frac{1}{2i} \ln|1 - ix| + C ]