Дан некоторый острый угол α=60∘. На одной из его сторон отмечены точки A1и A2, на другой стороне отмечена точка B.
Вершина угла — Н. Известно, что HA1=2, A1A2=8. При какой величине отрезка HB величина острого угла между прямыми A1B и A2B будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

17 Сен 2019 в 14:42
181 +2
0
Ответы
1

Подберем координаты точек A1, A2 и B так, чтобы образующийся угол был максимальным.

Пусть координаты точек A1, A2 и B следующие:
A1(0, 0), A2(8, 0), B(x, y).

Тогда координаты вершины угла Н равны (8, 8√3).

Вектор из точки A1 в точку B равен (-x, -y), вектор из точки A1 в точку A2 равен (8, 0).

Таким образом, косинус угла между прямыми A1B и A2B равен
cos(α) = (-x 8 + (-y - 0) 0) / (sqrt(x^2 + y^2) 8) = -8x / 8√3 sqrt(x^2 + y^2) = -x / √3 * sqrt(x^2 + y^2)

Найдем производную от cos(α) по x и приравняем ее к нулю для нахождения максимума:
(-x / √3 sqrt(x^2 + y^2))' = - √3 sqrt(x^2 + y^2) - x (x / √3 sqrt(x^2 + y^2)) / sqrt(x^2 + y^2) = - √3 - x^2 / √3 * sqrt(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2) = 0

Отсюда x^2 = y^2, x = ±y.

Таким образом, точка B должна находиться на одной из прямых, проходящих через точки A1 и A2 под углами 45° и 135°.

Из условия HA1 = 2 можем найти x и y:
√(x^2 + y^2) = √(2^2 + 8^2) = √68 = 2√17

Таким образом, x = ±2√17, y = ±2√17.

Теперь найдем косинус угла между прямыми A1B и A2B при x = 2√17 и y = 2√17:
cos(60°) = -2√17 / √3 √(4 17) = -2/3 √51 ≈ -1.155

Ответ: косинус угла между прямыми A1B и A2B будет максимальным при отрезке HB равном 2√17.

19 Апр в 22:38
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 84 727 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир