Дан некоторый острый угол α=60∘. На одной из его сторон отмечены точки A1и A2, на другой стороне отмечена точка B.
Вершина угла — Н. Известно, что HA1=2, A1A2=8. При какой величине отрезка HB величина острого угла между прямыми A1B и A2B будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Подберем координаты точек A1, A2 и B так, чтобы образующийся угол был максимальным.

Пусть координаты точек A1, A2 и B следующие:
A1(0, 0), A2(8, 0), B(x, y).

Тогда координаты вершины угла Н равны (8, 8√3).

Вектор из точки A1 в точку B равен (-x, -y), вектор из точки A1 в точку A2 равен (8, 0).

Таким образом, косинус угла между прямыми A1B и A2B равен
cos(α) = (-x 8 + (-y - 0) 0) / (sqrt(x^2 + y^2) 8) = -8x / 8√3 sqrt(x^2 + y^2) = -x / √3 * sqrt(x^2 + y^2)

Найдем производную от cos(α) по x и приравняем ее к нулю для нахождения максимума:
(-x / √3 sqrt(x^2 + y^2))' = - √3 sqrt(x^2 + y^2) - x (x / √3 sqrt(x^2 + y^2)) / sqrt(x^2 + y^2) = - √3 - x^2 / √3 * sqrt(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2) = 0

Отсюда x^2 = y^2, x = ±y.

Таким образом, точка B должна находиться на одной из прямых, проходящих через точки A1 и A2 под углами 45° и 135°.

Из условия HA1 = 2 можем найти x и y:
√(x^2 + y^2) = √(2^2 + 8^2) = √68 = 2√17

Таким образом, x = ±2√17, y = ±2√17.

Теперь найдем косинус угла между прямыми A1B и A2B при x = 2√17 и y = 2√17:
cos(60°) = -2√17 / √3 √(4 17) = -2/3 √51 ≈ -1.155

Ответ: косинус угла между прямыми A1B и A2B будет максимальным при отрезке HB равном 2√17.