Сколько целых решений x , при котором верно равенство
[tex]\frac{1}{[x-5]}+\frac{1}{[x+5]} =\frac{10}{25-x^2}[/tex]
[...] - модуль

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим область определения данного уравнения. Знаменатель не может быть равен 0, поэтому исключаем значения x, при которых выполняются условия [x-5]=0 и [x+5]=0:

[x-5] ≠ 0 => x ≠ 5
[x+5] ≠ 0 => x ≠ -5

Также знаменатель дроби справа не должен быть равен 0:

25 - x^2 ≠ 0
(x-5)(x+5) ≠ 0
x ≠ 5, x ≠ -5

Итак, у нас разрешен любой х, кроме 5 и -5.

Теперь заменим модули на соответствующие им выражения, вспоминая, что [t] - это наибольшее целое число, не превосходящее t.

[t] = t - {t}, где {t} - дробная часть числа t.

Получаем уравнение:

$\frac{1}{[x-5]} + \frac{1}{[x+5]} = \frac{10}{25 - x^2}$

$\frac{1}{x-5 - {x-5}} + \frac{1}{x+5 - {x+5}} = \frac{10}{25 - x^2}$

Избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей:

(x-5)(x+5) + (x+5)(x-5) = 10(25 - x^2)

2(x^2 - 25) = 10(25 - x^2)

2x^2 - 50 = 250 - 10x^2

12x^2 = 300

x^2 = 25

x = ± 5

Но мы уже исключили значения x = 5 и x = -5 из области определения, поэтому решение уравнения отсутствует в целых числах.