Почему циклическая группа изоморфна группе вычетов по модулю m? Доказать что любая циклическая группа будет изоморфна группе вычетов по модулю m

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Циклическая группа представляет собой группу, в которой существует элемент, порождающий все остальные элементы группы путем возведения его в различные степени. Таким образом, любой элемент циклической группы можно представить в виде $a^n$, где $a$ - порождающий элемент группы, а $n$ - целое число.

Группа вычетов по модулю $m$ представляет собой множество всех целых чисел в интервале от $0$ до $m-1$ с операцией сложения по модулю $m$. Эта группа также является циклической, так как любой элемент можно представить в виде $i \mod m$, где $i$ - любое целое число.

Доказательство изоморфизма циклической группы и группы вычетов по модулю $m$ можно провести следующим образом:

Пусть $G$ - циклическая группа с порождающим элементом $a$. Тогда для любого элемента $g \in G$ существует целое число $n$, такое что $g = a^n$.

Рассмотрим отображение $\phi: G \rightarrow \mathbb{Z}_m$, которое сопоставляет каждому элементу $g$ его остаток от деления на $m$ (т.е. $\phi(g) = g \mod m$).

Докажем, что отображение $\phi$ является изоморфизмом. Для этого проверим следующие свойства:

$\phi$ сохраняет операцию сложения: $\phi(g_1g_2) = (g_1g_2) \mod m = (a^{n_1}a^{n_2}) \mod m = a^{n_1 + n_2} \mod m = (g_1 \cdot g_2) \mod m = \phi(g_1) \cdot \phi(g_2)$$\phi$ сохраняет идентичный элемент: $\phi(e) = e \mod m = 1 \mod m = 1$$\phi$ сохраняет обратные элементы: $\phi(g^{-1}) = (g^{-1}) \mod m = (a^{-n}) \mod m = a^{-n} \mod m = (a^n)^{-1} \mod m = (g)^{-1} = \phi(g)^{-1}$

Таким образом, отображение $\phi$ является изоморфизмом между циклической группой $G$ и группой вычетов по модулю $m$.