Довести методом математичної інукції
[tex]1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+..+\frac{1}{n^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доведемо дане твердження за допомогою математичної індукції.

База індукції: для n = 1 маємо:

1 ≤ 2 - 1
1 ≤ 1
твердження виконується для n = 1.

Крок індукції: припустимо, що твердження виконується для деякого n = k, тобто

1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{k^{2}} ≤ 2 - \frac{1}{k}.

Доведемо, що твердження виконується для n = k + 1:

1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(k + 1)^{2}} ≤ 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k + 1)^{2}}.

Далі з кроку індукції маємо:

2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k + 1)^{2}} = \frac{2k^{2} - k + (k + 1)^{2}}{k(k + 1)^{2}} = \frac{2k^{2} - k + k^{2} + 2k + 1}{k(k + 1)^{2}} = \frac{3k^{2} + k + 1}{k(k + 1)^{2}} = \frac{k(3k + 1) + 1}{k(k + 1)^{2}} = \frac{3k + 1}{k + 1}.

Таким чином, виконання твердження для n = k+1 доведено.

Отже, за принципом математичної індукції отримали, що для будь-якого натурального n виконується

1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} ≤ 2 - \frac{1}{n}.