При каких n > 5 любую фигурку из 1 + 2 + 3 + . . . + n клеток можно разрезать по сторонам клетокна n фигурок попарно различной площади?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть n = 6. Тогда у нас есть фигурка из 1+2+3+4+5+6=21 клетки. Мы можем разрезать её на две фигурки площадью 10 и 11 клеток.

Теперь докажем, что для любого n > 5 мы можем разрезать фигурку из 1+2+3+...+n клеток на n фигурок попарно различной площади.

Предположим, что для некоторого n > 5 это невозможно. Тогда существует такое целое k, что k(k+1)/2 = n и нельзя разрезать фигурку на k фигурок попарно различной площади.

Но так как n > 5 и n = k(k+1)/2, то k > 2. Рассмотрим k-ую фигурку (площадью k), мы можем разрезать её на две фигурки площадью a и b, где a+b = k и a < b (так как k > 2). Но тогда существует разрез такой, что наша фигурка из n клеток может быть разрезана на k+1 фигурку попарно различной площади (k фигурок изначальной фигурки плюс разрезанная фигурка площадью a).

Противоречие. Таким образом, для любого n > 5 можно разрезать фигурку из 1+2+3+...+n клеток на n фигурок попарно различной площади.