Как решить данное уравнение методом введения нового переменной[tex]\frac{1}{x - 9} + \frac{1}{x - 7} = \frac{1 }{x + 18} + \frac{1}{x - 10} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения методом введения новой переменной предположим, что t = x - 9. Тогда новое уравнение будет:

[tex]\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 2} = \frac{1 }{t + 27} + \frac{1}{t - 1} [/tex]

Первоначальное уравнение можно переписать в виде:

[tex]\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 2} = \frac{1 }{t + 27} + \frac{1}{t - 1} [/tex]

Общим знаменателем для всех дробей является произведение t (t + 2) (t + 27) * (t - 1). После умножения обеих сторон уравнения на этот множитель и сокращения членов с одинаковыми знаменателями, получаем:

[tex](t + 2)(t + 27)(t - 1) + t(t + 27)(t - 1) = t(t + 2)(t + 27) + (t + 2)(t + 27)(t - 1) [/tex]

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

[tex]t^3 + 28t^2 - 55t - 54 + t^3 + 26t^2 - 27t = t^3 + 29t^2 + 54t + t^3 + 26t^2 - 27t [/tex]

[tex]2t^3 + 54t^2 - 82t - 54 = 2t^3 + 55t^2 + 54t [/tex]

[tex]54t^2 - 82t - 54 = 55t^2 + 54t [/tex]

[tex]- t^2 - 136 = -t[/tex]

[tex]t^2 - t - 136 = 0[/tex]

Поиск корней уравнения t^2 - t - 136 = 0 дает нам два решения, t = 13 и t = -10. Подставляем найденные значения обратно в уравнение t = x - 9:

Для t = 13: x - 9 = 13 => x = 22
Для t = -10: x - 9 = -10 => x = -1

Итак, уравнение имеет два корня: x = 22 и x = -1.