Используя метод интервалов, найдите промежутки знакопостоянства функции[tex]y = \frac{ {x}^{3}+ 4 {x}^{2} + 6x}{ {x}^{2} + 2x - 3} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем нули и разрывы функции.

Поделим числитель на знаменатель:
[tex]\frac{ {x}^{3}+ 4 {x}^{2} + 6x}{ {x}^{2} + 2x - 3} = \frac{x(x^2 + 4x + 6)}{(x + 3)(x - 1)} [/tex]

Таким образом, нули функции:
x = 0, x = -3, x = 1

Теперь найдем точки разрыва:
Поскольку знаменатель не равен 0, нет разрыва при x = 0 и x = -3. Однако, разрыв имеется при x = 1, так как деление на 0.

Используя найденные нули и точки разрыва, разобьем область определения функции на интервалы:

Теперь проанализируем значение функции на каждом из интервалов:

В интервале (-∞, -3):
Выбираем любое число меньше -3, например -4. Подставляем в функцию:
[tex]\frac{-4(-4^2 + 4(-4) + 6)}{(-4 + 3)(-4 - 1)} = \frac{-4(-16 - 16 + 6)}{-1-5} = \frac{160}{5} = 32 > 0 [/tex]
Функция положительна на данном интервале.

В интервале (-3, 0):
Выбираем любое число между -3 и 0, например -1. Подставляем в функцию:
[tex]\frac{-1(-1^2 + 4(-1) + 6)}{(-1 + 3)(-1 - 1)} = \frac{-1(-1 - 4 + 6)}{2-1} = \frac{1}{-2} < 0 [/tex]
Функция отрицательна на данном интервале.

В интервале (0, 1):
Выбираем любое число между 0 и 1, например 0.5. Подставляем в функцию:
[tex]\frac{0.5(0.5^2 + 40.5 + 6)}{(0.5 + 3)(0.5 - 1)} = \frac{0.5(0.125 + 2 + 6)}{3.5-0.5} = \frac{0.5*8.125}{-1.75} < 0 [/tex]
Функция отрицательна на данном интервале.

В интервале (1, ∞):
Выбираем любое число больше 1, например 2. Подставляем в функцию:
[tex]\frac{2(2^2 + 42 + 6)}{(2 + 3)(2 - 1)} = \frac{2(4 + 8 + 6)}{51} = \frac{36}{5} > 0 [/tex]
Функция положительна на данном интервале.

Таким образом, функция положительна на интервалах (-∞, -3) и (1, ∞), и отрицательна на интервалах (-3, 0) и (0, 1).