Докажите, что если a, b и c и — целые числа, то и дробь будет целым числом[tex] \frac{ ab+cb + ac}{a + b+ c} \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{a {}^{2} + b {}^{2} + c {}^{2} }{ a+b+c} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, рассмотрим дробь [tex] \frac{ab+cb+ac}{a+b+c}[/tex],

Мы можем вынести общий множитель (a+b+c) из числителя:

[tex] \frac{ab+cb+ac}{a+b+c} = \frac{(a+b+c)(a)}{a+b+c} = a[/tex]

Таким образом, дробь [tex] \frac{ab+cb+ac}{a+b+c}[/tex] равна целому числу a.

Теперь рассмотрим дробь [tex] \frac{a {}^{2} + b {}^{2} + c {}^{2}}{a+b+c}[/tex],

Раскроем числитель и сгруппируем слагаемые:

[tex] a {}^{2} + b {}^{2} + c {}^{2} = a {}^{2} - 2ab + b {}^{2} + b {}^{2} - 2bc + c {}^{2} + c {}^{2} - 2ac + a {}^{2} [/tex]

[tex] = (a {}^{2} - 2ab + b {}^{2}) + (b {}^{2} - 2bc + c {}^{2}) + (c {}^{2} - 2ac + a {}^{2}) [/tex]

[tex] = (a-b) {}^{2} + (b-c) {}^{2} + (c-a) {}^{2} [/tex]

Таким образом, числитель представляет собой сумму трех квадратов разностей чисел. По формуле сокращенного умножения (a^2-b^2) = (a+b)(a-b), мы можем раскрыть квадраты разностей.

Заметим, что числитель представим в виде произведения двух множителей:

[tex] (a-b) {}^{2} + (b-c) {}^{2} + (c-a) {}^{2} = (a-b+b-c)(a-b) +(b-c+c-a)(b-c) +(c-a+a-b) (c-a) [/tex]

[tex] = (a-b+b-c+c-a)(a-b) = (a-b)(b-c)(c-a) [/tex]

Подставим это обратно в исходную дробь:

[tex] \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a+b+c} [/tex]

Так как числителем является произведение трех множителей, а знаменателем число a+b+c, то данная дробь также будет целым числом.

Таким образом, мы доказали, что обе дроби будут целыми числами, если а, b и c - целые числа.