Написать уравнения касательной плоскости и нормали заданной поверхности в точке М0(2;1;3), x(y+z)(xy-z)=-8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение представляет собой уравнение поверхности в пространстве.

Для того чтобы найти уравнения касательной плоскости и нормали к данный поверхности в точке M0(2;1;3), нужно:

Найти частные производные функции x(y+z)(xy-z)=-8 по переменным x, y и z.Вычислить значение данных частных производных в точке M0(2;1;3).Уравнение касательной плоскости в точке M0 будет иметь вид:
x(x0-x)+y(y0-y)+z(z0-z)=0
где (x0;y0;z0) - координаты точки M0, а (x;y;z) - переменныеУравнение нормали в данной точке будет иметь вид:
p(x-x0)+q(y-y0)+r(z-z0)=0
где (p;q;r) - коэффициенты нормального вектора решения системы уравнений, полученной из частных производных функции.

Исходное уравнение:
f(x,y,z) = x(y+z)(xy-z)+8 = 0

Найдем частные производные:
f_x'(x,y,z) = (y+z)(xy-z) + x(y+z) = 0
f_y'(x,y,z) = x(x+y)(xy-z) = 0
f_z'(x,y,z) = x(x+y)(-x+y) = 0

Подставим координаты точки M0(2,1,3) в частные производные:
f_x'(2,1,3) = 4
f_y'(2,1,3) = 0
f_z'(2,1,3) = 0

Уравнение касательной плоскости:
4*(x-2) = 0
4x - 8 = 0
4x = 8
x = 2

Уравнение касательной плоскости: 4(x-2) = 0

Уравнение нормали:
4(x-2) = p(x-2) + q(y-1) + r(z-3)
4x - 8 = px - 2p
4x - px = 8 - 2p
(4-p)x = 8 - 2p
Так как x = 2, подставим это в уравнение:
2(4-p) = 8 - 2p
8 - 2p = 8 - 2p
0 = 0

Уравнение нормали: 0 = 0

В данном случае касательная плоскость параллельна плоскости OYZ, а нормаль к поверхности в точке M0(2,1,3) вертикальна и направлена вдоль оси Ox.