Докажите, что 3∙2^24-5∙2^22-2^20 делится на 9

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что число 3∙2^24-5∙2^22-2^20 делится на 9, мы можем преобразовать это число следующим образом:

3∙2^24 = 3∙(2^3)^8 = 3∙8^8 = 3∙(9-1)^8

5∙2^22 = 5∙(2^3)^7 = 5∙8^7 = 5∙(9-1)^7

2^20 = (2^3)^6 = 8^6 = (9-1)^6

Теперь мы можем заменить исходное выражение:

3∙(9-1)^8 - 5∙(9-1)^7 - (9-1)^6

После раскрытия скобок получим:

3∙(9^8 - 8∙9^7 + 28∙9^6 - 56∙9^5 + 70∙9^4 - 56∙9^3 + 28∙9^2 - 8∙9 + 1) - 5∙(9^7 - 7∙9^6 + 21∙9^5 - 35∙9^4 + 35∙9^3 - 21∙9^2 + 7∙9 - 1) - (9^6 - 6∙9^5 + 15∙9^4 - 20∙9^3 + 15∙9^2 - 6∙9 + 1)

Упрощаем выражение:

3∙(9^8 - 8∙9^7 + 28∙9^6 - 56∙9^5 + 70∙9^4 - 56∙9^3 + 28∙9^2 - 8∙9 + 1) - 5∙(9^7 - 7∙9^6 + 21∙9^5 - 35∙9^4 + 35∙9^3 - 21∙9^2 + 7∙9 - 1) - (9^6 - 6∙9^5 + 15∙9^4 - 20∙9^3 + 15∙9^2 - 6∙9 + 1) =

= 3∙9^8 - 3∙8∙9^7 + 3∙28∙9^6 - 3∙56∙9^5 + 3∙70∙9^4 - 3∙56∙9^3 + 3∙28∙9^2 - 3∙8∙9 + 3 - 5∙9^7 + 5∙7∙9^6 - 5∙21∙9^5 + 5∙35∙9^4 - 5∙35∙9^3 + 5∙21∙9^2 - 5∙7∙9 + 5 - 9^6 + 6∙9^5 - 15∙9^4 + 20∙9^3 - 15∙9^2 + 6∙9 - 1 =

= 3∙9^8 - 5∙9^7 - 9^6 + 3∙8∙9^6 + 5∙7∙9^6 + 6∙9^5 - 3∙28∙9^5 - 5∙21∙9^5 - 6∙9^5 + 3∙56∙9^4 + 5∙35∙9^4 + 15∙9^4 + 3∙70∙9^3 + 5∙35∙9^3 + 20∙9^3 - 3∙56∙9^3 - 5∙21∙9^2 - 15∙9^2 + 3∙28∙9^2 + 5∙7∙9^2 - 6∙9 + 5∙7∙9 + 6∙9 - 3∙8∙9 + 5∙21∙9 - 15∙9 + 1 =

= 3∙9^8 - 5∙9^7 - 9^6 + 8∙9^6 + 35∙9^6 + 6∙9^5 - 84∙9^5 - 105∙9^5 - 6∙9^5 + 168∙9^4 + 175∙9^4 + 15∙9^4 + 210∙9^3 + 175∙9^3 + 180∙9^3 - 168∙9^3 - 105∙9^2 - 15∙9^2 + 84∙9^2 + 35∙9^2 - 54∙9 + 35∙9 + 54∙9 - 24∙9 + 60 + 54 - 15

= 118∙9^6 + 293∙9^4 + 368∙9^3 + 115∙9^2 + 36

Таким образом, мы видим, что исходное число действительно делится на 9, так как его представление можно записать в виде произведения числа 9.