Если [tex]2 {}^{x} = 7 {}^{y} = 6 {}^{z} [/tex]то [tex]4 {}^{ \frac{x}{y} } + 8 {}^{ \frac{x}{z} } = [/tex]?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: [tex]2^x = 7^y = 6^z[/tex]

Мы можем выразить [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] и [tex]z[/tex] через логарифмы:
[tex]x = \log_2(6^z)[/tex]
[tex]y = \log_7(6^z)[/tex]
[tex]z = \log_6(6^z)[/tex]

Сначала найдем отношение [tex]\frac{x}{y}[/tex]:
[tex]\frac{x}{y} = \frac{\log_2(6^z)}{\log_7(6^z)} = \frac{z\log_2 6}{z\log_7 6} = \frac{\log_26}{\log_76}[/tex]

Теперь найдем значение [tex]4^{\frac{x}{y}}[/tex]:
[tex]4^{\frac{x}{y}} = 4^{\frac{\log_26}{\log_76}} = 4^{\log_76} = 6^2 = 36[/tex]

Аналогично для [tex]\frac{x}{z}[/tex]:
[tex]\frac{x}{z} = \frac{\log_2(6^z)}{\log_6(6^z)} = \frac{z\log_2 6}{z} = \log_26[/tex]

Найдем значение [tex]8^{\frac{x}{z}}[/tex]:
[tex]8^{\frac{x}{z}} = 8^{\log_26} = 6^3 = 216[/tex]

Теперь найдем сумму [tex]4^{\frac{x}{y}} + 8^{\frac{x}{z}}[/tex]:
[tex]36 + 216 = 252[/tex]

Таким образом, [tex]4^{\frac{x}{y}} + 8^{\frac{x}{z}} = 252[/tex].