При каких значениях а, графики функций y=2ax^2+2x+1 и y=x^2+2ax-2 пересекаются ровно в одной точке? Желательно с решением!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы графики функций пересекались ровно в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы у них были равные значения функций в этой точке и их производные были равны.

Пусть точка пересечения графиков функций y = 2ax^2 + 2x + 1 и y = x^2 + 2ax - 2 равна (x0, y0).

Тогда уравнение y = 2ax^2 + 2x + 1 принимает вид y0 = 2ax0^2 + 2x0 + 1,
а уравнение y = x^2 + 2ax - 2 принимает вид y0 = x0^2 + 2ax0 - 2.

Так как значения функций в точке пересечения должны быть равными, то получаем уравнение:
2ax0^2 + 2x0 + 1 = x0^2 + 2ax0 - 2.

Теперь найдем производные от данных функций:
y' = 4ax + 2,
y' = 2x + 2a.

Учитывая условие о равенстве производных, можем записать уравнение:
4ax0 + 2 = 2x0 + 2a.

Теперь решим систему уравнений:

1) 2ax0^2 + 2x0 + 1 = x0^2 + 2ax0 - 2,
x0^2 - 2ax0 - 3 = 0,
(x0 - 3)(x0 + 1) = 0,
x0 = 3 или x0 = -1.

2) 4ax0 + 2 = 2x0 + 2a,
4ax0 - 2x0 = 2a - 2,
2x0(2a - 1) = 2(a - 1),
x0 = a - 1.

Таким образом, точка пересечения графиков функций y = 2ax^2 + 2x + 1 и y = x^2 + 2ax - 2 единственна при a = 4, x0 = 3.