Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 22 даёт в остатке 14, а при делении на 17 даёт в остатке 9.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно воспользоваться китайской теоремой об остатках.

По условию задачи мы ищем число x, которое при делении на 22 даёт в остатке 14, т.е. x ≡ 14 (mod 22), и при делении на 17 даёт в остатке 9, т.е. x ≡ 9 (mod 17).

Применяя китайскую теорему об остатках, найдем наименьшее натуральное число, удовлетворяющее обоим условиям:

x ≡ 14 (mod 22)
x ≡ 9 (mod 17)

Для начала найдем обратные элементы для 22 и 17 по модулям 17 и 22 соответственно:

22 5 ≡ 1 (mod 17) => обратный элемент для 22 по модулю 17 равен 5
17 13 ≡ 1 (mod 22) => обратный элемент для 17 по модулю 22 равен 13

Теперь можем найти число x:

x = 14 17 13 + 9 22 5 = 3862 + 990 = 4852

Стало быть, наименьшее натуральное число, которое при делении на 22 даёт в остатке 14, а при делении на 17 даёт в остатке 9, равно 4852.