Докажите, что 1/а + 1/б меньше или равно а/б^2 + б/а^2 при а больше 0 и б больше 0. как это решить??? если можно, с разъяснениями

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного неравенства преобразуем выражения и докажем их эквивалентность.

1/a + 1/b = (b + a) / (ab)

a/b^2 + b/a^2 = (a^3 + b^3) / (ab^2)

Имеем неравенство:

(b + a) / (ab) <= (a^3 + b^3) / (ab^2)

Умножаем обе части на ab:

b + a <= a^3 + b^3

a - a^3 <= b^3 - b

a(1 - a^2) <= b(b^2 - 1)

a(a - 1)(a + 1) >= b(b - 1)(b + 1)

Учитывая, что а и b больше нуля, то каждое из чисел (a - 1), (a + 1), (b - 1) и (b + 1) также больше нуля. Поэтому знак неравенства не изменяется при умножении на них. Исходное неравенство доказано.