В сундуке у Хагрида хранится 205 шариков десяти различных цветов. Некоторые шарики волшебные и могут в разные моменты оказаться любого из этих десяти цветов (но меняют цвет только тогда, когда сундук закрыт и заперт). Однажды Хагрид открыл сундук, пересчитал шарики каждого цвета (каждого цвета оказалось разное количество шариков), выписал список цветов в порядке убывания количества шариков, закрыл и запер сундук. На следующий день Хагрид проделал то же самое и обнаружил, что в его втором списке цвета идут в точности в обратном порядке (по отношению к первому списку). Какое наименьшее количество волшебных шариков может быть в сундуке?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим количество шариков каждого цвета в первом списке как a1, a2, ..., a10 (где a1 >= a2 >= ... >= a10) и во втором списке как b1, b2, ..., b10 (где b1 >= b2 >= ... >= b10).

Так как во втором списке цвета идут в обратном порядке относительно первого, то b1 = a10, b2 = a9, ..., b10 = a1.

Таким образом, сумма a1 + b1 = a1 + a10 = 205, сумма a2 + b2 = a2 + a9, ..., сумма a10 + b10 = a10 + a1.

Отсюда следует, что 2(a1 + a2 + ... + a10) = 205*10 = 2050.

Так как сумма всех шариков равна 205, то a1 + a2 + ... + a10 = 205. Следовательно, 2*205 = 2050, что означает, что сумма a1 + a2 + ... + a10 должна быть в точности половиной от 2050.

Для минимального количества волшебных шариков пусть для всех a1, a2, ..., a10 будет равно 1, 2, ..., 10 соответственно. Тогда сумма a1 + a2 + ... + a10 будет равна 55.

Таким образом, минимальное количество волшебных шариков в сундуке равно 205 - 55 = 150.