2) найти промежутки знакопостоянства ф-ции
y=3x^2+13x+4
3) найти промежутки монотонности ф-ции
y=5x^2+5x+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения промежутков знакопостоянства и монотонности функций y=3x^2+13x+4 и y=5x^2+5x+1 нужно найти корни уравнения y=0, когда функция пересекает ось x, и проанализировать знаки производной функции.

1) Функция y=3x^2+13x+4. Для нахождения корней уравнения 3x^2+13x+4=0 используем формулу дискриминанта: D=b^2-4ac=13^2-434=169-48=121.
Таким образом, D>0, у уравнения два действительных корня. Функция имеет вершины поворота вниз и минимум.
Для анализа знакопостоянства и монотонности функции найдем производную: y'=6x+13.
Производная равна 0 при x=-13/6. Это минимум функции.
Построим знаки производной на числовой прямой:
-13/6 | + | - |
Производная положительна слева от -13/6 и отрицательна справа от -13/6. Значит, функция возрастает на интервале (-∞, -13/6) и убывает на интервале (-13/6, +∞). Промежуток знакопостоянства: функция положительна на интервале (-∞, -13/6) и отрицательна на интервале (-13/6, +∞).

2) Функция y=5x^2+5x+1. Для нахождения корней уравнения 5x^2+5x+1=0 используем дискриминант: D=5^2-451=25-20=5. Таким образом, дискриминант положителен, у уравнения два действительных корня. Т.е. фукнция имеет вершины поворота вниз и минимум.
Производная функции: y'=10x+5.
Производная равна 0 при x=-1/2. Это минимум функции.
Построим знаки производной на числовой прямой:
-1/2 | - | + |
Производная отрицательна слева от -1/2 и положительна справа от -1/2. Значит, функция убывает на интервале (-∞, -1/2) и возрастает на интервале (-1/2, +∞). Промежуток знакопостоянства: функция отрицательна на интервале (-∞, -1/2) и положительна на интервале (-1/2, +∞).