Решить уравнение
ctg(2x)-ctg(x)=2ctg(4x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

ctg(2x) - ctg(x) = 2ctg(4x)
1/tg(2x) - 1/tg(x) = 2/tg(4x)
(tg(x) - tg(2x))/tg(x)tg(2x) = 2tg(x)/tg(4x)
tg(x) - tg(2x) = 2tg(x)cot(4x)
tg(x) - tg(2x) = 2tg(x)tg(4x)/ctg(4x)
tg(x) - tg(2x) = 2tg^2(x)

Замена tg(x) = y даст:
y - (2y/(1-y^2)) = 2y^2
y - 2y/(1-y^2) = 2y^2
y(1-2/(1-y^2)) = 2y^2
y = 2y^2 - 2y^3/(1-y^2)
y(1-y^2)(1-2y) = 0

Таким образом, у нас три возможных решения:
1) y = 0 -> tg(x) = 0 -> x = k * pi, где k - целое число.
2) 1 - y^2 = 0 -> y = 1 -> tg(x) = 1 -> x = π/4 + πk, где k - целое число.
3) 1 - 2y = 0 -> y = 1/2 -> tg(x) = 1/2 -> x = π/6 + πk, где k - целое число.

Итак, решения уравнения: x = k * pi, x = π/4 + πk, x = π/6 + πk, где k - целое число.