Сколько существует троек натуральных чисел a,b,c, удовлетворяющих уравнению a+ab+abc+ac+c=380?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно переписать в виде:

a(1+b+bc+c) = 380

Заметим, что b и c являются натуральными числами, следовательно (1+b+bc+c) также является натуральным числом. Так как 380 = 22519, то a может быть равно 2, 5, 19 или 10 (2 5).

Пусть a = 2. Тогда 1+b+2bc+c = 190. Так как b,c ≥ 1, получаем неравенство 4bc ≤ 190, то есть bc ≤ 47. Это означает, что подходят все пары b,c, такие что b*c ≤ 47. Таких пар b,c – 8. Каждой из них соответствует единственное значение a=2.

Пусть a = 5. Тогда 1+b+5bc+c = 76. Аналогично предыдущему случаю, получаем что для таких b,c, что b*c ≤ 15 подходят значения b,c. Их 3.

Пусть a = 19. Тогда 1+b+19bc+c = 20. Аналогично предыдущим случаям, у нас есть только одно возможное b,c, что b*c ≤ 1.

Пусть a = 10. Тогда 1+b+10bc+c = 38. Так как b,c ≥ 1, получаем что 4bc ≤ 37, то есть bc ≤ 9. Соответственно есть 5 вариантов b,c.

Итого таких троек a,b,c – 8 + 3 + 1 + 5 = 17.