Докажите тождество:
1 - 4sin²α · cos²α
------------------------- + 2sinα · cos α = 1
(sin α + cos α)²

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Начнем с левой стороны уравнения:

1 - 4sin²α · cos²α
------------------------- + 2sinα · cosα
(sin α + cos α)²

Преобразуем числитель первого слагаемого:

1 - 4sin²α · cos²α = 1 - 4(sinα · cosα)²

С помощью формулы двойного угла sin(2α) = 2sinα · cosα, мы можем заменить (sinα · cosα)² на (1/4sin(2α))²:

1 - (sin(2α))² = 1 - sin²(2α) = cos²(2α)

Теперь подставим это значение обратно в первое слагаемое:

1 - 4(sinα · cosα)² = 1 - cos²(2α)

2cos²(2α) = 1 - cos²(2α) //сделаем замену cos(2α) = x

2x² = 1 - x²
2x² + x² = 1
3x² = 1
x² = 1/3
x = √(1/3)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

2√(1/3) / (sinα + cosα) + 2sinα · cosα

Умножаем числитель и знаменатель дроби на √3, чтобы избавиться от дроби в числителе:

2√(3)/3 (sinα + cosα) / (sinα + cosα) + 2sinα · cosα

Получаем:

2√3/3 + 2sinα · cosα

Теперь преобразуем это выражение:

2(√3/3 + sinα · cosα) = 2(sinα + cosα) / √3

Таким образом, левая сторона равенства равна:

2(sinα + cosα) / √3

Теперь запишем правую сторону уравнения:

1

Таким образом, левая и правая стороны уравнения равны, что и требовалось доказать.