Нужно решить предел последовательности, желательно подробно, так как ответ итак знаю, но не могу к нему прийти
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+1} +\sqrt[3]{n^7+1}}{{n^2 +\sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1)} }[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы решить предел данной последовательности, преобразуем выражение в более удобную для работы форму.

[ \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\sqrt{n^2+1} + \sqrt[3]{n^7+1}\right)}{n^2 + \sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1)} ]

Используем формулу (a+b)(a-b) = a^2 - b^2:

[ \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+1} + \sqrt[3]{n^7+1})((n^2 + \sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1))}{(n^2 + \sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1))((\sqrt{n^2+1} - \sqrt[3]{n^7+1})} ]

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1 + n^7 + 1 + \sqrt{n^2+1} \cdot \sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1)}{n^2 + \sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1)\cdot \sqrt{n^2+1} - \sqrt[3]{n^7+1}} ]

Чтобы упростить дальше это выражение, обратим внимание на его структуру. Мы видим, что числитель и знаменатель у данного выражения различаются лишь множителями в скобках, которые умножаются по разным правилам (умножение квадратного корня и корня кубического). Попробуем преобразовать это выражение, чтобы в числителе и знаменателе остались только одинаковые множители, чтобы мы смогли их "сократить".

Будем переписывать данное выражение как:

[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1 + n^7 + 1 + \sqrt{n^2+1} \cdot \sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1)}{(n^2 + \sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1))\cdot(\sqrt{n^2+1} - \sqrt[3]{n^7+1})} ]

Допустим, что n увеличивается очень быстро до бесконечности. Тогда выражение (\sqrt{n^2+1} \cdot \sqrt[3]{n}(n+1)(2n+1)) в числителе можно приблизить к (n \cdot n \cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)) или (n^4(2n+1)). Так как (n >> 1), можно отбросить всех остальные члены, несущие малое значение.

Проведем аналогичные упрощения и в знаменателе. Получаем, что выражение имеет вид:

[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1 + n^7 + 1 + n^4(2n+1)}{n^2 \cdot (\sqrt{n^2+1} - \sqrt[3]{n^7+1})} ]

Опять же можно выделить (n^2) из исходного числителя. В итоге получаем:

[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \cdot (1 + n^5 + 2n + 1)}{n^2 \cdot (\sqrt{n^2+1} - \sqrt[3]{n^7+1})} ]

Упрощая, получим:

[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + n^5 + 2n + 1}{\sqrt{n^2+1} - \sqrt[3]{n^7+1}} ]

Исходная последовательность теперь преобразилась в более удобную для нахождения предела. Теперь осталось просто рассмотреть предел как (n) стремится к бесконечности.