Геометрия, олимпиадные задачи В трапеции диагонали перпендикулярны и равно соответственно 15 и 20см. Найдите высоту и среднюю линию трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABCD - трапеция со сторонами AB = a, CD = b и диагоналями AC = 20 см, BD = 15 см. Пусть H и M - высота и средняя линия трапеции соответственно.

Из условия известно, что диагонали трапеции перпендикулярны, следовательно, ABC и ACD - прямоугольные треугольники.

Из свойства прямоугольного треугольника следует, что:

AC^2 = AH^2 + CH^2 - высота

BD^2 = BM^2 + DM^2 - средняя линия

Также мы знаем, что AC = 20 см, BD = 15 см, AH = CH = h (высота), BM = DM = m (средняя линия).

Подставим данные в уравнения:

400 = h^2 + b^2

225 = m^2 + a^2

Также известно, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:

b^2 + h^2 = 20^2 = 400

a^2 + m^2 = 15^2 = 225

Решив эту систему уравнений, получим:

h = 3, m = 5

Итак, высота трапеции равна 3 см, а средняя линия равна 5 см.