Выразить вектора и узнать можетли выполнятся равенство Точки E и F лежат соответственно на сторонах АD и BC паралелограмма АВСDПричём АС=ЕD, BF:FC=3:5
а) Выразительно вектор ЕF через векторы m=AB и n=AD
б) Может ли при каком нибудь значении х выполнятся равенство EF=x•CD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала введем обозначения для векторов, а затем выразим вектор ( \vec{EF} ) через векторы ( \vec{m} = \vec{AB} ) и ( \vec{n} = \vec{AD} ).

а) Выражение вектора ( \vec{EF} )

Пусть точки ( A, B, C, D ) находятся в векторной форме:

( \vec{A} = \vec{0} )( \vec{B} = \vec{m} )( \vec{C} = \vec{m} + \vec{n} )( \vec{D} = \vec{n} )

Найдём координаты точки E: Так как точка ( E ) находится на стороне ( AD ), можно выразить (\vec{E}) как:
[
\vec{E} = t \cdot \vec{n} \quad (0 \leq t \leq 1)
]
Здесь ( t ) — это параметр (доля от длины ( AD )).

Найдём координаты точки F: Tочка ( F ) делит отрезок ( BC ) в отношении ( 3:5 ). Поэтому можно обозначить координаты точки ( F ) следующим образом:
[
\vec{F} = \frac{5}{3 + 5} \cdot \vec{C} + \frac{3}{3 + 5} \cdot \vec{B} = \frac{5}{8}(\vec{m} + \vec{n}) + \frac{3}{8} \vec{m} = \frac{8}{8} \vec{m} + \frac{5}{8} \vec{n} = \vec{m} + \frac{5}{8} \vec{n}
]

Теперь выразим вектор ( \vec{EF} ): Получаем:
[
\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} = \left(\vec{m} + \frac{5}{8} \vec{n}\right) - (t \vec{n}) = \vec{m} + \left(\frac{5}{8} - t\right) \vec{n}
]

Таким образом,
[
\vec{EF} = \vec{m} + \left(\frac{5}{8} - t\right) \vec{n}
]

б) Может ли при каком-нибудь значении ( x ) выполняться равенство ( \vec{EF} = x \cdot \vec{CD} )?

Вектор ( \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = \vec{n} - (\vec{m} + \vec{n}) = -\vec{m} ).

Следовательно,
[
x \cdot \vec{CD} = -x \cdot \vec{m}
]

Теперь нам нужно установить равенство:
[
\vec{m} + \left(\frac{5}{8} - t\right) \vec{n} = -x \vec{m}
]

Сравним компоненты векторов по ( \vec{m} ) и ( \vec{n} ):

Для ( \vec{m} ):
[
1 = -x \Rightarrow x = -1
]

Для ( \vec{n} ):
[
\frac{5}{8} - t = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{8}
]

Таким образом, равенство ( \vec{EF} = x \cdot \vec{CD} ) может выполняться при ( x = -1 ) и ( t = \frac{5}{8} ), что соответствует определённому выбору точки ( E ) на стороне ( AD ) и точки ( F ) на стороне ( BC ).