Сделать чертёж и вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=5x-x^2+6 и осью Ox

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график функции y=5x-x^2+6:

Уравнение y=5x-x^2+6 можно представить в виде квадратичной функции y=-x^2+5x+6. Построим график этой функции.

Для этого найдем вершину параболы по формуле x=-b/2a, где a=-1, b=5:
x=-5/(-2)=5/2=2.5.

Подставим x=2.5 в уравнение функции: y=-2.5^2+5*2.5+6=-6.25+12.5+6=12.25. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2.5, 12.25).

Теперь построим график функции y=-x^2+5x+6:

[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y=-x^2+5x+6 \
\hline
0 & 6 \
1 & 10 \
2 & 12 \
2.5 & 12.25 \
3 & 12 \
4 & 10 \
5 & 6 \
\hline
\end{array}
]

Построим график функции по найденным точкам:

[
\begin{array}{c}
|\ \
| \ \
| \ \
| \ \
| \ \
| \ \
| \ \
| \ \
| \ \
| \ \
| -\ \
| \ \
| \ \
| y=5x-x^2+6 \
| \
+----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+--- \
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 \
\end{array}
]

Теперь можно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=5x-x^2+6 и осью OX. Площадь такой фигуры равна определенному интегралу функции на заданном интервале.

[
S=\int_{a}^{b} (5x-x^2+6)dx
]

Где a и b - точки пересечения графика функции y=5x-x^2+6 с осью OX, то есть значения x, при которых y=0:

5x-x^2+6=0
x^2-5x+6=0
(x-2)(x-3)=0
x=2, x=3

Таким образом, площадь фигуры равна:

[
S=\int_{2}^{3} (5x-x^2+6)dx
]

[
S=\left[ \frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+6x \right]_{2}^{3}
]

[
S=\left( \frac{53^2}{2}-\frac{3^3}{3}+63 \right) - \left( \frac{52^2}{2}-\frac{2^3}{3}+62 \right)
]

[
S=\left( \frac{45}{2}-9+18 \right) - \left( \frac{20}{2}-\frac{8}{3}+12 \right)
]

[
S=\left( \frac{45}{2}-9+18 \right) - \left( 10- \frac{8}{3}+12 \right)
]

[
S=(\frac{45}{2} - 9 + 18)-(10-\frac{8}{3}+12)= \frac{45}{2} - 9 + 18 - 10 + \frac{8}{3} - 12 = \frac{45}{2} + \frac{8}{3} - 9
]

[
S=\frac{135}{6} + \frac{16}{6} - 54 = \frac{151}{6} - 54 \approx 41.83
]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=5x-x^2+6 и осью OX, равна примерно 41.83.