Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов 1281. Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Тогда сумма трех первых членов прогрессии равна:

S = a + aq + aq^2 = a(1 + q + q^2).

Также известно, что сумма квадратов членов прогрессии равна:

S^2 = a^2(1 + q + q^2)^2 = a^2(1 + 2q + q^2 + q^2 + 2q^3 + q^4) = a^2(1 + 2q + 2q^2 + 2q^3 + q^4).

По условию, S = 21 и S^2 = 1281. Подставляем значения S и S^2 в уравнения:

21 = a(1 + q + q^2),
1281 = a^2(1 + 2q + 2q^2 + 2q^3 + q^4).

Решаем систему уравнений, чтобы найти значения a и q:

a = 21 / (1 + q + q^2),
1281 = (21 / (1 + q + q^2))^2 * (1 + 2q + 2q^2 + 2q^3 + q^4).

После вычислений находим, что a = 7, q = 3.

Теперь, чтобы найти сумму кубов членов прогрессии, нам нужно вычислить:

S^3 = a^3(1 + q + q^2)^3 = 7^3 (1 + 3 + 3^2) = 7^3 13 = 3823.

Итак, наибольшее значение суммы кубов членов прогрессии равно 3823.