Найдите наименьшее значение функции f (x)=4^x - 2^x+4 + 100

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производную данной функции:
f'(x) = 4^x ln(4) - 2^x ln(2)

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:
4^x ln(4) - 2^x ln(2) = 0

4^x ln(4) = 2^x ln(2)
(2^2)^x ln(2^2) = 2^x ln(2)
2^(2x) 2 ln(2) = 2^x * ln(2)
2^(2x) = 2^(x + 1)
2x = x + 1
x = 1

Теперь проверим вторую производную для точки x = 1:
f''(x) = 4^x (ln(4))^2 - 2^x (ln(2))^2

f''(1) = 4 (ln(4))^2 - 2 (ln(2))^2 > 0

Так как вторая производная положительна, то точка x = 1 является точкой минимума функции.

Подставим x = 1 обратно в исходную функцию:
f(1) = 4^1 - 2^1 + 4 + 100
f(1) = 4 - 2 + 4 + 100
f(1) = 106

Итак, наименьшее значение функции f(x) равно 106.