Вычилить массу полусферы с плотностью x^2+y^2+z^2=4 плотности p(x,y,z)=z^3
z ⩾ 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления массы полусферы с заданной плотностью необходимо вычислить объем полусферы и затем умножить его на плотность.

Уравнение полусферы с радиусом r:

x^2 + y^2 + z^2 = r^2, z ≥ 0

Для данного случая r=2.

Объем полусферы:

V = (2/3) π r^3 = (2/3) π 2^3 = (16/3) * π

Теперь необходимо вычислить массу. Плотность задана как p(x,y,z) = z^3.

Масса полусферы:

M = ∫∫∫ p(x,y,z) dV = ∫∫∫ z^3 * dz dy dx

z ограничена на полусфере, поэтому z ∈ [0,√(4-x^2-y^2)].

Делаем замену переменных на сферические координаты:

x = ρ sinφ cosθ
y = ρ sinφ sinθ
z = ρ * cosφ

|Jacobian| = ρ^2 * sinφ

M = ∫[0,π/2] ∫[0,2π] ∫[0,√(4-x^2-y^2)] (ρ cosφ)^3 ρ^2 * sinφ dρ dθ dφ

Вычисляем интегралы и получаем массу полусферы с заданной плотностью p(x,y,z)=z^3.