Докажите , что биссектриса внешнего угла при вершине В и биссектриса угла С треугольника АВС пересекаются под углом , равным 0.5 угла А

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим биссектрисы внешнего угла при вершине B и угла C как BD и CE соответственно.

Заметим, что угол ABD и угол ACB - смежные внешние углы треугольника ABC. По свойству внешних углов треугольника известно, что сумма этих углов равна внешнему углу при вершине A, то есть

∠ABD + ∠ACB = ∠A (1)

Также мы знаем, что биссектриса угла С делит угол ACB на два равных угла, поэтому

∠ACE = ∠ACB / 2 (2)

Аналогично, биссектриса внешнего угла при вершине B делит угол AB в отношении к отрезку BC, поэтому

∠ABD = 180° - ∠ABC / 2 (3)

Исключая ∠ABD из уравнения (1) и подставляя уравнения (2) и (3), получаем:

∠ACB / 2 + 180° - ∠ABC / 2 = ∠A

Упрощая:

∠A = ∠ACB - ∠ABC

Таким образом, угол А равен разности угла ACB и угла ABC, то есть угол А равен половине угла между биссектрисами внешнего угла B и угла C под вершиной А.