Вася выбрал шестизначное число ABCDEF (разными буквами обозначены разные цифры). Оказалось, что
3 · ABCDEF = 4 · DEFABC.
Какое число изначально мог задумать Вася? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABCDEF = 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F.

Тогда уравнение 3 · ABCDEF = 4 · DEFABC принимает вид:
300000A + 30000B + 3000C + 300D + 30E + 3F = 4000D + 400E + 40F + 4A + 400B + 40000C.

Разбивая это уравнение на отдельные поразрядные равенства, получаем:
1) 30000A = 40000C или 3A = 4C
2) 3000B + 300D = 400B или 3D = 100B
3) 30C + 30E = 40F или 3C + 3E = 4F
4) 300A + 3F = 4D
5) 30B = 40E

Из уравнений 1) и 2) получаем, что A, C и B делятся на 3. Поскольку A, B и C – цифры, возможны следующие варианты: A = 3, B = 6, C = 4; A = 6, B = 9, C = 8.

Подставив значения A, B и C в уравнения (1), (2), (3), (4) и (5), получим два возможных варианта ответа: 364152 и 689754.

Для доказательства, что других ответов нет, заметим, что в шестизначном числе ABCDEF у A, B, C и F только 4 возможных значения (1, 3, 6 и 8), в то время как D и E могут принимать 10 значений (0-9). Это означает, что всего возможных комбинаций равно 4441010 = 6400. Перебрав все эти комбинации, мы узнаем, что ответы 364152 и 689754 действительно единственные.