Докажите , что при любом значении n выполняется равенство : 1(в кубе) + 2(в кубе) + 3(в кубе) + ... + n(в кубе) = числитель (n(квадрат) * (n + 1)(квадрат)) знаменатель 4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это по индукции.

База индукции: при n = 1
1^3 = 1(1^2 (1 + 1)^2) / 4
1 = 1(1 4) / 4
1 = 4 / 4
1 = 1

Теперь предположим, что равенство выполняется для некоторого k:

1^3 + 2^3 + ... + k^3 = k^2 * (k + 1)^2 / 4

Докажем, что равенство также выполняется для k + 1:

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = (k + 1)^2 * (k + 2)^2 / 4

Имеем:
(k^2 (k + 1)^2 / 4) + (k + 1)^3 = (k + 1)^2 (k + 2)^2 / 4
(k + 1)^2 (k + 1)^2 / 4 = (k + 1)^2 (k + 2)^2 / 4
(k + 1)^2 * 4 = (k + 2)^2
(k + 2)^2 = (k + 2)^2

Таким образом, равенство доказано для всех натуральных чисел n.