Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды SABC равна 1 м^2. Найти площадь сечения, проходящего через вершину S пирамиды и точки M и N, которые делят ребра AB и AC в отношении AM:MB=AN:NC =1:2 соответственно/

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам понадобится воспользоваться принципом подобия треугольников.

Обозначим высоту правильной треугольной пирамиды SABC за h, длины ребер AB, AC и BC за a, a и b соответственно, а длину отрезка AM за x. Тогда длины отрезков MB и AN равны 2x и 2x соответственно.

Из подобия треугольников AMS и ABS получаем:
AM/AB = x/a,
MS/SB = h/b,
также из подобия треугольников ANS и ACS:
AN/AC = 2x/a,
NS/SC = h/b.

Так как площадь боковой поверхности пирамиды равна 1 м^2, получаем:
(AB + AC) h / 2 = S,
(a + a) h / 2 = 1,
a * h = 1.

Также, по теореме Пифагора:
b^2 = a^2 - h^2 = a^2 - 1.

Площадь сечения, проходящего через вершину S пирамиды и точки M и N, равна площади треугольника SMN:
S(SMN) = S(AMS) + S(ANS) - S(AMS∩ANS).

Площади треугольников AMS и ANS равны соответственно:
S(AMS) = x h / 2,
S(ANS) = 2x h / 2 = x * h.

Найдем площадь пересечения AMS и ANS. Пусть точка P - точка пересечения отрезков AM и AN. Тогда высота треугольника AMP равна h - x, а высота треугольника ANP равна 2h - 2x.

S(AMS∩ANS) = S(AMPC) + S(ANPC),
S(AMPC) = x (h - x) / 2,
S(ANPC) = x (2h - 2x) / 2 = x * (2h - 2x) / 2.

Таким образом, общая площадь сечения равна:
S(SMN) = x h / 2 + x h - x (h - x) / 2 - x (2h - 2x) / 2,
S(SMN) = x h + 2xh - x(h - x) - x(2h - 2x),
S(SMN) = x h + 2xh - xh + x^2 - 2xh + 2x^2,
S(SMN) = 3x^2.

Используя свойства подобных треугольников, можно найти выражение для x через a:
x/a = AM/AB = MS/SB = 1/b,
b = 1/(x/a) = a/x,
x = a/b.

Тогда
S(SMN) = 3(a/b)^2 = 3a^2 / b^2,
S(SMN) = 3*a^2 / (a^2 - 1).

Таким образом, площадь сечения, проходящего через вершину S пирамиды и точки M и N, составляет 3*a^2 / (a^2 - 1) м^2.