Sina+cosb=√2 и sinb+cosa=√2; чему равно значение sin(a+b) и cos(a+b)? известно, что sina+cosb=√2 и sinb+cosa=√2; чему равно значение sin(a+b) и cos(a+b)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения значений sin(a+b) и cos(a+b) воспользуемся формулами сложения углов:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Из условий задачи у нас уже есть суммы sin(a)+cos(b)=√2 и sin(b)+cos(a)=√2. Теперь найдем sin(a) и cos(b) из первого уравнения:
sin(a) = √2 - cos(b)
cos(b) = √2 - sin(a)

Подставим это во второе уравнение:
sin(b) = √2 - cos(a)

Теперь можем найти значения sin(a+b) и cos(a+b):
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a+b) = (√2 - cos(b))(√2 - sin(a)) + cos(a)(√2 - cos(a))
sin(a+b) = 2 - √2(cos(b) + sin(a)) - cos(a)

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
cos(a+b) = (√2 - sin(a))(√2 - cos(b)) - cos(a)(√2 - sin(b))
cos(a+b) = 2 - √2(sin(a) + cos(b)) - cos(a)

Таким образом, значения sin(a+b) и cos(a+b) равны:
sin(a+b) = 2 - √2(cos(b) + sin(a)) - cos(a)
cos(a+b) = 2 - √2(sin(a) + cos(b)) - cos(a)