Задача 1курс Аналит. Геометрии Вектора 1. Пусть A, B, C, D – точки евклидова пространства, Альфа и Бета, – вещественные числа, C делит направленный отрезок AB в отношении Альфа: Бета: . Доказать, что ( Альфа+Бета) DC=БетаDA+АльфаDB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Давайте представим векторы AB, AC и AD как суммы других векторов:

AB = OB - OA
AC = OC - OA
AD = OD - OA

Тогда отношение, в котором точка C делит отрезок AB, можно представить как:

AC = Альфа AB + Бета AC

Подставляем выражения для векторов AC и AB:

OC - OA = Альфа (OB - OA) + Бета (OC - OA)

Теперь раскроем скобки:

OC - OA = Альфа OB - Альфа OA + Бета OC - Бета OA

Перегруппируем слагаемые:

OC = Альфа OB + (1 - Альфа) OA + Бета OC - Бета OA

Из данного равенства видно, что левая часть равна BC, а правая часть равна AD. Таким образом, мы доказали, что

Альфа BC = Бета DA + Альфа * DB

что и требовалось доказать.