Найти объем тела ограниченного поверхностями x+y=4 x=3 y=1 x=0 y=0 z=0 z=2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема тела ограниченного данными поверхностями можно воспользоваться методом двойного интеграла.

Сначала определим пределы интегрирования:

Поскольку x изменяется от 0 до 3, y изменяется от 0 до 4-x (следует из уравнения x+y=4), а z изменяется от 0 до 2, то пределы интегрирования будут следующими:

0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ y ≤ 4-x
0 ≤ z ≤ 2

Теперь можно записать интеграл для объема:

V = ∫∫∫ dV = ∫[0,2]dz ∫[0,4-x]dy ∫[0,3]dx

Вычислим этот интеграл:

V = ∫[0,2]dz ∫[0,4-x]dy ∫[0,3]dx = ∫[0,2] (4-x)dx ∫[0,3]dy ∫[0,1]dz
V = ∫[0,2] (4x - x^2)dx ∫[0,3] 1dy
V = [4x^2/2 - x^3/3] from 0 to 3 3
V = [(36 - 9) - 0] 3
V = 81

Таким образом, объем тела, ограниченного данными поверхностями, равен 81.