Докажите, что вершины параллелограмма, лежащие на одной его стороне , находятся на одинаковом расстоянии от его противолежащей стороны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан параллелограмм ABCD. Обозначим его вершины следующим образом: A,B,C,D.

Пусть M и N - вершины параллелограмма, лежащие на одной стороне (она может быть либо AB, либо BC, либо CD, либо DA). Без ограничения общности, предположим, что это сторона AB.

Тогда докажем, что точки M и N находятся на одинаковом расстоянии от стороны CD.

Для начала заметим, что CD || AB (так как это параллелограмм). Из этого следует, что угол ADC равен углу ABD (по свойству параллельных прямых и пересекающихся прямых).

Теперь построим серединный перпендикуляр к отрезку CD, который пересекает этот отрезок в точке X. Также проведем серединный перпендикуляр к отрезку MN, который пересекает этот отрезок в точке Y.

Так как CD || AB, то отрезки DX и AB параллельны и равны (по свойству серединного перпендикуляра). Аналогично отрезки DY и MN параллельны и равны.

Теперь мы видим, что треугольники ADX и BCY равны по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что угол XDA равен углу YCB.

Из этого можно заключить, что точки M и N находятся на одинаковом расстоянии от стороны CD, так как расстояние до параллельной прямой измеряется перпендикуляром. Следовательно, вершины параллелограмма, лежащие на одной его стороне, находятся на одинаковом расстоянии от его противолежащей стороны.