Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А (2; -3), В (3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой 3х-у-8=0
. Определить координаты третьей вершины С.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты центра масс треугольника.

Координаты центра масс вычисляются по формуле:
x_c = (x1 + x2 + x3) / 3
y_c = (y1 + y2 + y3) / 3

Где (x1, y1), (x2, y2) - координаты вершин треугольника.

Подставляем координаты вершин А и В:
x_c = (2 + 3 + x3) / 3
y_c = (-3 - 2 + y3) / 3

x_c = (5 + x3) / 3
y_c = (-5 + y3) / 3

Так как центр масс лежит на прямой 3x - y - 8 = 0, то его координаты удовлетворяют этому уравнению.
Заменим x и y в уравнении прямой на x_c и y_c:
3 * ((5 + x3) / 3) - ((-5 + y3) / 3) - 8 = 0
5 + x3 - (-5 + y3) - 8 = 0
5 + x3 + 5 - y3 - 8 = 0
x3 - y3 + 2 = 0
x3 - y3 = -2

Так как третья вершина С лежит на прямой, её координаты удовлетворяют этому уравнению.
Подставляем в него условие площади треугольника S = 1.5:
1.5 = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставляем координаты вершин А и В и переменные x и y в это уравнение:
1.5 = 0.5 * |2(-2 - y3) + 3(y3 + 3) + x3(-3 + 2)|

1.5 = 0.5 |(-4 - 2) + (9 + 3y3) + x3(-1)|
1.5 = 0.5 |-6 + 12 + 3y3 - x3|

Раскрываем модуль:
1.5 = 0.5 18 + 0.5 2x3 - 0.5 * 3y3

1.5 = 9 + x3 - 1.5y3

x3 = 9 + 1.5y3 - 1.5

Теперь система уравнений у нас такая:
x3 - y3 = -2
x3 = 9 + 1.5y3 - 1.5

Подставляем первое уравнение во второе:
9 + 1.5y3 - 1.5 - y3 = -2
0.5y3 = -11

y3 = -22

Подставляем найденное значение y3 обратно в первое уравнение:
x3 + 22 = -2
x3 = -24

Таким образом, координаты третьей вершины треугольника С равны (-24; -22).