Решите тригонометрическое уравнение sin^4(pi*x)+cos^4(pi*x)=0,75

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этого уравнения нам необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами:

sin^2(pix) + cos^2(pix) = 1 (Тождество Пифагора)
(sin^2(pix) + cos^2(pix))^2 = 1
sin^4(pix) + 2sin^2(pix)cos^2(pix) + cos^4(pix) = 1

Таким образом, уравнение принимает вид:

1 + 2sin^2(pix)cos^2(pix) = 0,75
2sin^2(pix)cos^2(pix) = 0,75 - 1
2sin^2(pix)cos^2(pix) = -0,25

Так как sin^2(x) * cos^2(x) = (sin(2x)/2)^2, то:

(sin(2pix)/2)^2 = -0,25/2
sin(2pix) = ±√(-0,25/2) = ±√(-0,125)

Так как корень из отрицательного числа выражается в комплексном виде, то sin(2pix) = ±i*√0,125

Теперь ищем все значения x, для которых sin(2pix) = ±i*√0,125:

1) sin(2pix) = i√0,125
2pix = arcsin(i√0,125)
x = arcsin(i√0,125) / (2pi) + n, где n - целое число

2) sin(2pix) = -i√0,125
2pix = arcsin(-i√0,125)
x = arcsin(-i√0,125) / (2pi) + n, где n - целое число

Таким образом, решение уравнения sin^4(pix) + cos^4(pix) = 0,75 имеет два набора значений x.