Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя: Lim (при x стремящемся к 0) x*tg5x/ cosx-cos^3x

30 Окт 2019 в 19:46
302 +1
0
Ответы
1

Для нахождения предела данного выражения без использования правила Лопиталя, можно воспользоваться следующим подходом:

lim (x -> 0) x*tan(5x) / (cosx - cos^3(x))

Переобразуем дробь:

lim (x -> 0) x sin(5x) / cos(x) (1 - cos^2(x))

Теперь поделим числитель и знаменатель на x:

lim (x -> 0) sin(5x) / cos(x) * (1 - cos^2(x)) / x

Разложим sin(5x) и cos(x) в ряды Тейлора в окрестности x = 0:

sin(5x) = 5x - 5(5x)^3 / 3! + ... = 5x + O(x^3)
cos(x) = 1 - x^2 / 2! + ... = 1 + O(x^2)
cos^2(x) = (1 - x^2 / 2!)^2 = 1 - x^2 + O(x^4)

Подставим разложения в выражение:

lim (x -> 0) (5x + O(x^3)) / (1 + O(x^2)) * (1 - (1 - x^2 + O(x^4)))

lim (x -> 0) (5x + O(x^3)) / (1 + O(x^2)) * (x^2 + O(x^4))

Упростим:

lim (x -> 0) (5x + O(x^3)) / (1 + O(x^2))

lim (x -> 0) 5x / 1 = 0

Таким образом, lim (x -> 0) x*tan(5x) / (cosx - cos^3x) = 0.

19 Апр в 03:20
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 89 810 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир