Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя: Lim (при x стремящемся к 0) x*tg5x/ cosx-cos^3x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения предела данного выражения без использования правила Лопиталя, можно воспользоваться следующим подходом:

lim (x -> 0) x*tan(5x) / (cosx - cos^3(x))

Переобразуем дробь:

lim (x -> 0) x sin(5x) / cos(x) (1 - cos^2(x))

Теперь поделим числитель и знаменатель на x:

lim (x -> 0) sin(5x) / cos(x) * (1 - cos^2(x)) / x

Разложим sin(5x) и cos(x) в ряды Тейлора в окрестности x = 0:

sin(5x) = 5x - 5(5x)^3 / 3! + ... = 5x + O(x^3)
cos(x) = 1 - x^2 / 2! + ... = 1 + O(x^2)
cos^2(x) = (1 - x^2 / 2!)^2 = 1 - x^2 + O(x^4)

Подставим разложения в выражение:

lim (x -> 0) (5x + O(x^3)) / (1 + O(x^2)) * (1 - (1 - x^2 + O(x^4)))

lim (x -> 0) (5x + O(x^3)) / (1 + O(x^2)) * (x^2 + O(x^4))

Упростим:

lim (x -> 0) (5x + O(x^3)) / (1 + O(x^2))

lim (x -> 0) 5x / 1 = 0

Таким образом, lim (x -> 0) x*tan(5x) / (cosx - cos^3x) = 0.