Кратные криволинейные интегралы Вычислить статический момент инерции относительно оси Oy неоднородной материальной пластины, ограниченой линиями x+y=1, x=y^2, y=0, если поверхностная плотность равна p(x,y)=x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления статического момента инерции относительно оси Oy неоднородной материальной пластины необходимо вычислить кратный криволинейный интеграл от функции x относительно площади этой пластины.

Первым шагом найдем точки пересечения кривых, ограничивающих пластину:

Подставим значение x из второго уравнения в первое:
y^2 + y = 1
y^2 + y - 1 = 0

Решив данный квадратный трёхчлен, найдем два значения y - y1 и y2:

y1 = (-1 + sqrt(5))/2
y2 = (-1 - sqrt(5))/2

Теперь можно записать интеграл, который нужно вычислить:
I_y = ∫∫ x * p(x,y) dS = ∫∫ x^2 dx dy

Границы интегрирования для x и y:
y1 ≤ y ≤ y2
y^2 ≤ x ≤ 1-y

Теперь вычислим интеграл:
Iy = ∫ y^2∫(y^2, 1-y) x^2 dx dy
= ∫ y^2 [x^3/3](y^2, 1-y) dy
= ∫ y^2 * [(1-y)^3/3 - (y^6/3)] dy
= ∫ (y^2 - y^9/3) dy

Теперь вычислим значение интеграла:
Iy = [(y^3)/3 -(y^10)/30](y1, y2)
= [(((-1 - sqrt(5))^3)/3 - ((-1 - sqrt(5))^10)/30) - (((-1 + sqrt(5))^3)/3 - ((-1 + sqrt(5))^10)/30)]