Сумма четырёхзначного натурального числа и его суммы цифр равна 2013. Чему равна сумма цифр этого числа?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть четырёхзначное число равно abcd, где a, b, c, d - цифры числа.

Тогда по условию задачи:
1000a + 100b + 10c + d = a + b + c + d + 2013

999a + 99b + 9c = 2013

Заметим, что 2013 делится на 9, следовательно, сумма a + b + c + d также должна делиться на 9.

Так как число четырёхзначное, сумма его цифр не превышает 36 (если все цифры равны 9), значит a + b + c + d = 9 или 18 или 27.

Если a + b + c + d = 9, то рассмотрим вторую строку:

999a + 99b + 9c = 2013

999a + 99b = 2013 - 9c, левая часть равна числу, которое делится на 9, значит 9c также делится на 9, т.е. c делится на 1. Получаем, что c = 0, что невозможно, так как c - цифра числа.

Если a + b + c + d = 18, то 2013 - 18 = 1995 - число, которе делится на 9. Это число образуется из девятки единиц, занчит числа выглядит как 1995 = 999*2, следовательно, a = 9, а b, c и d - 0.

Если a + b + c + d = 27, то 2013 - 27 = 1986, это число также делится на 9. Это число образуется из двух одинаковых четырёхзначных чисел. значит, его можно разложить как 1986 = 993*2, следовательно, a = 9, а b, c и d также равны 9.

Так как сумма цифр числа равна 9, ответ: 9.