Докажите что многочлен x²+2x+y²-4y+6 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение.

Рассмотрим многочлен x² + 2x + y² - 4y + 6.

Преобразуем данный многочлен:

x² + 2x + y² - 4y + 6 = (x² + 2x + 1) + (y² - 4y + 4) +
= (x + 1)² + (y - 2)² + 1

Таким образом, многочлен x² + 2x + y² - 4y + 6 представим в виде суммы трех членов, каждый из которых является квадратом некоторого выражения, плюс константа.

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то каждый из квадратов в данной сумме также неотрицателен. Следовательно, каждый из слагаемых неотрицателен.

Таким образом, сумма квадратов выражений x + 1 и y - 2, а также константы 1 всегда будет положительным числом.

Таким образом, при любых значениях переменных x и у многочлен x² + 2x + y² - 4y + 6 принимает положительные значения.