Доказать тождество sin 12 cos 72 - cos 33 cos 27

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами синуса разности и косинуса суммы:

sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a+b)+sin(a-b))
cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a+b)+cos(a-b))

Таким образом, раскроем данное выражение:

sin 12 cos 72 - cos 33 cos 27 = (1/2)(sin(12+72)+sin(12-72)) - (1/2)(cos(33+27)+cos(33-27))
= (1/2)(sin 84 + sin (-60)) - (1/2)(cos 60 + cos 6)
= (1/2)(sin 84 - sin 60) - (1/2)(cos 60 - cos 6)
= (1/2)(2cos 12sin 6) - (1/2)(2cos 33cos 27)
= cos 12sin 6 - cos 33cos 27

Теперь вспомним формулу синуса удвоенного угла:

sin 2a = 2sin acos a

Таким образом, правая часть станет:

cos 12sin 6 - cos 33cos 27
= cos 12 2sin 3 cos 3 - cos 33cos 27
= 2cos 12 sin 3 cos 3 - 2cos 33 cos 27
= 2cos 12 sin 6 - 2cos 33 * cos 27

Таким образом, мы получили, что левая часть равна правой, что доказывает тождество sin 12 cos 72 - cos 33 cos 27.