Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=sin2x на отрезке [-п/4;п/4]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции нужно найти ее значения в крайних точках отрезка и в критических точках внутри этого отрезка.

Найдем значения функции в крайних точках отрезка:
y(-п/4) = sin^2(-п/4) = sin^2(-π/4) = sin^2(-45°) = sin^2(-0.785) ≈ 0.3535
y(п/4) = sin^2(п/4) = sin^2(π/4) = sin^2(45°) = sin^2(0.785) ≈ 0.3535

Найдем критические точки функции внутри отрезка [-п/4;п/4] (то есть производные равны 0 или не существуют):
y' = 2sin(2x)cos(2x) = 2sin(4x)
Точки, где y' = 0, имеют вид 4x = kπ + π/2, где k - целое число:
4x = kπ + π/2
x = (kπ + π/2) / 4

Точки, где y' не существует, соответствуют значениям x при которых sin(4x) не существует. Это происходит когда 4x = π/2 + πn, где n - целое число.
Таким образом, x = (π/2 + πn) / 4 = (π/8 + πn/4)

Подставляем найденные точки в функцию sin^2(2x) и находим значения:
y((π/8 + πn/4)) = sin^2(2(π/8 + πn/4)) = sin^2(π/4 + πn/2) = sin^2(45° + 90°n)
Так как sin^2(α) = sin^2(180° - α), то sin^2(45° + 90°n) = sin^2(135° - 90°n)

Подставляем полученные значения в y и находим наибольшее и наименьшее:
y(-π/4) ≈ 0.3535
y(π/4) ≈ 0.3535
y(π/8) = sin^2(135° - 90°) = sin^2(45°) = 0.5
y(-π/8) = sin^2(135° + 90°) = sin^2(225°) = sin^2(180° + 45°) = sin^2(45°) = 0.5

Таким образом, наибольшее значение функции y=sin^2(2x) на отрезке [-п/4;п/4] равно 0.5, а наименьшее значение равно 0.3535.