Олимпиада по математике. Длина высоты
В прямоугольном треугольнике
A
B
C
проведены высота
C
H
и биссектриса
C
D
из вершины прямого угла
C
. Оказалось, что
A
D
=
2
,
B
D
=
1
. Найдите длину высоты
C
H
.
(Ответ выразите десятичной дробью с точностью до одного знака после запятой и введите в поле для ответа.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Мы знаем, что биссектриса делит сторону противоположную прямому углу на отрезки пропорционально другим двум сторонам треугольника. Таким образом, мы можем записать следующие пропорции:

AD/BD = AC/BC = AH/CH

Из условия задачи, AD = 2, BD = 1, значит AC/BC = 2/1 = 2.

Поскольку это прямоугольный треугольник, мы знаем, что AC = CH. Таким образом, 2/1 = CH/BC.

Также мы видим, что треугольник BCW (где W - точка пересечения высоты с гипотенузой) подобен треугольнику CWH. Значит, CW/CH = BC/DC = 2/1.

Таким образом, CW = 2*CH.

Теперь, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике BCW:

BC^2 + CW^2 = BW^2

BC^2 + (2CH)^2 = AC^2

BC^2 + 4CH^2 = 4BC^2

3BC^2 = 4CH^2

CH = BC * √3/2

Мы также знаем, что BC = AC = √5 (по теореме Пифагора).

Итак, CH = √5 * √3/2 = √15/2 ≈ 1.9

Ответ: 1.9