Геометрия. Олимпиадные задачи 1)Биссектриса угла треуг. ABC пересекает описанную около него окружность в точке Д. Точки O и J - центры описанной и вписанной окружностей соответственно.
Постройте треуг. ABC по точкам O, J и Д.
2)Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1 соответственно. Постройте по этим точкам треуг. ABC.
3)Прямые содержащие высоты остроугольного треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A1, B1, и C1. Докажите, что ортоцентр треугольника ABC является центром вписанной окружности треуг. A1B1C1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Поскольку точка Д - точка пересечения биссектрисы угла треугольника ABC с описанной около него окружностью, то угол ADC равен половине угла BAC. Следовательно, точка D - середина дуги BC. Таким образом, треугольники ABC и OJД подобны по нескольким признакам. Из этого следует, что треугольник ABC можно построить с помощью заданных точек.

2) Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁, образуя треугольник A₁B₁C₁. Поскольку треугольник ABC и A₁B₁C₁ подобны (по построению биссектрис), их можно построить с помощью заданных точек.

3) Предположим, что ортоцентр треугольника ABC обозначен точкой H. Тогда по определению ортоцентра, мы имеем, что высоты треугольника пересекаются в точке H. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, и их центры описанных окружностей совпадают. Следовательно, ортоцентр треугольника ABC является центром вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁.