Интеграл: 1. интеграл x*e^(1-3x)dx 2. интеграл sin(2x)dx/(1+2cos(2x))^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления интеграла x*e^(1-3x)dx сначала нужно применить метод интегрирования по частям. Обозначим u = x и dv = e^(1-3x)dx. Тогда du = dx и v = (-1/3)e^(1-3x). Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫xe^(1-3x)dx = x(-1/3)e^(1-3x) - ∫(-1/3)e^(1-3x)dx
= -x/3 e^(1-3x) + ∫(1/3)e^(1-3x)dx
= -x/3 e^(1-3x) + (1/9)e^(1-3x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Для вычисления интеграла sin(2x)dx/(1+2cos(2x))^2 воспользуемся заменой t = tan(x). Тогда dx = dt/(1+t^2), sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2*t/(1+t^2) и cos(2x) = (1-t^2)/(1+t^2). Подставляем эти выражения в интеграл:

∫sin(2x)dx/(1+2cos(2x))^2 = ∫(2t/(1+t^2))/(1 + 2(1-t^2)/(1+t^2))^2 dt
= ∫(2t/(1+t^2))/(1 + 2(1-t^2)^2/(1+t^2)^2) dt
= ∫(2t/(1+t^2))/(1 + 2(1-2t^2+t^4)/(1+2t+t^2)) dt
= ∫(2t/(1+t^2))/(1 + 2 + 4t^2 - 2t^2 + t^4 + 2t + t^2) dt
= ∫(2t/(1+t^2))/(3 + 3t^2 + 2t) dt
= ∫(2t/(1+t^2))/(3(1+t^2) + 2t(1+t^2)) dt
= ∫(2t/(1+t^2))/(3(1+t^2) + 2t(1+t) t) dt
= ∫(2t/(1+t^2))/(3+3t^2) dt
= ∫(2t/(3+3t^2+3t^2+3t^4)) dt
= ∫(2t/(3+6t^2+3t^4)) dt
= ∫(2t/(3(1+2t^2+t^4))) * dt.

Интеграл получился более сложным, и его можно попытаться упростить с помощью другой замены или метода интегрирования.